已知函数f（x）=ax2+（2a-1）x-3在区间[−32，2]上的最大值为1，求实数a的值．

蘅芜香草 1年前他留下的回答 已收到1个回答

bill2002 网友

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解题思路：因为当a等于0时，函数在区间[−

3

2

，2]上的最大值不为1，所以得到a不等于0，即可得到函数为二次函数，找出f（x）的对称轴方程，分三种情况考虑：当f（-[3/2]）等于1时，代入函数解析式即可求出a的值，然后求出对称轴方程，经过判断发现a要小于0时，顶点取得最大值，与f（-[3/2]）等于1矛盾，不合题意；当f（2）等于1时，代入函数解析式即可求出a的值，同理求出函数的对称轴方程，判断f（2）为最大值符合题意；当顶点为最高点时，得到f（x₀）=1，代入解析式即可求出a的值，经过验证得到满足题意的a的值，综上，得到满足题意的所有a的值．

a=0时，f（x）=-x-3，f（x）在[−
3
2，2]上不能取得1，
故a≠0，则f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0）的对称轴方程为x₀=[1−2a/2a]，
①令f(−
3
2)＝1，解得a=-[10/3]，
此时x₀=-[23/20∈[−
3
2，2]，
∵a＜0，∴f（x₀）最大，所以f(−
3
2)＝1不合适；
②令f（2）=1，解得a=
3
4]，
此时x₀=-[1/3∈[−
3
2，2]
因为a=
3
4＞0，x0＝−
1
3∈[−
3
2，2]且距右端2较远，所以f（2）最大合适；
③令f（x₀）=1，得a=
1
2(−3±2
2)，经验证a=
1
2(−3−2
2)
综上，a=
3
4]或a=
1
2(−3−2
2)．

点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值．

考点点评： 此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．解题的关键是找出对称轴与区间的关系．

1年前他留下的回答

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