已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R且a≠0．）．

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R且a≠0．）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3+x2[f′(x)+

m

2

]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围． 井底的蝈蝈 1年前他留下的回答 已收到3个回答

藏根草 网友

该名网友总共回答了23个问题，此问答他的回答如下：采纳率：73.9%

解题思路：（1）先求导数f′（x）然后在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，f′（x）＞0的区间为单调增区间，f′（x）＜0的区间为单调减区间．
（2）对函数求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调区间得到若f（x）在[1，2]上不单调，只要极值点出现在这个区间就可以，得到对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，从而求m的取值范围．

（1）f′(x)＝
a
x−a＝
a(1−x)
x（x＞0），
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）
（2）∵函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线倾斜角为45°，
∴f′（2）=[−a/2]=1，解得a=-2，所以f（x）=-2lnx+2x-3，
则函数g(x)＝x3+x2[f′(x)+
m
2]=x3+(
m
2+2)x2−2x，
故g′（x）=3x²+（m+4）x-2
因为g（x）在（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2，
∴

g′(t)＜0
g′(3)＞0．
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
综上，

g′(1)＜0


g′(2)＜0
g′(3)＞0 ，解得−
37
3＜m＜−9．
故m的取值范围为：−
37
3＜m＜−9．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数f′（x）；
（3）在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；
（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．

1年前他留下的回答

3

那年的花儿 网友

该名网友总共回答了12个问题，此问答他的回答如下：

f'(x)=a/x-a
f'(2)=a/2-a=tan45=1
a=-2
g'(x)=3x^2+2x(-2/x+2+m/2)+2/x^2 * x^2=3x^2+(4+m)x-4
若g(x)在(t,3)上总不是单调函数
1.g'(t)g'(3)<0
参变量分离可得
2.g'(t)g(3)>0
g'(x)对称轴x=(-4-m)/6<0

1年前他留下的回答

1

gfk55 网友

该名网友总共回答了406个问题，此问答他的回答如下：

先求导，求出a，再求m的取值范围。

1年前他留下的回答

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