已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=1，且b≠0，函数g(x)＝

1

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bx3−bx，若对任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）=g（x₂），求实数b的取值范围． 半个三亚人 1年前他留下的回答 已收到1个回答

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解题思路：（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间．
（2）分别表示出函数f（x）、g（x）的值域，根据f（x）的值域应为g（x）的值域的子集可得答案．

（1）f（x）=lnx-ax，
∴x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞）
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数
当a＞0时，∵f'（x）=[1/x−a=
1−ax
x]
∵f′(x)＞0，则1−ax＞0，ax＜1，x＜
1
af′(x)＜0，则1−ax＜0，ax＞1，x＞
1
a
即当a＞0时f(x)在(0，
1
a)上是增函数，在(
1
a，+∞)上是减函数．
（2）设f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，
则由已知，对于任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），
使f（x₁）=g（x₂），得A⊆B
由（1）知a=1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴f（x）在x∈（1，2）上单调递减，
∴f（x）的值域为A=（ln2-2，-1）
∵g'（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1）
∴（i）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，
此时，g（x）的值域为B＝(
2
3b，−
2
3b)
为满足A⊆B，又−
2
3b≥0＞−1
∴
2
3b≤ln2−2.即b≤
3
2ln2−3.
（ii）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，
此时，g（x）的值域为B＝(−
2
3b，
2
3b)
为满足A⊆B，又
2
3b≥0＞−1.
∴−
2
3b≤ln2−2
∴b≥−
3
2(ln2−2)＝3−
3
2ln2，
综上可知b的取值范围是(−∞，
3
2ln2−3]∪[3−
3
2ln2，+∞)

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

1年前他留下的回答

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