已知椭圆 x24+y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．

已知椭圆

x2

4

+y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由． backblack 1年前他留下的回答 已收到1个回答

霍祁连 网友

该名网友总共回答了12个问题，此问答他的回答如下：采纳率：100%

解题思路：（1）根据直线AM的斜率为1时，得出直线AM：y=x+2，代入椭圆方程并化简得：5x²+16x+12=0，解得点M的坐标即可；（2）对于是否过x轴上的一定点问题，可先假设存在，设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系即可求得P点的坐标，从而解决问题．

（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，（1分）
代入椭圆方程并化简得：5x²+16x+12=0，（2分）
解之得x1=-2，x2=-
6
5，∴M(-
6
5，
4
5)．（4分）
（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），
则

y=k(x+2)

x2
4+y2=1化简得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．（6分）
∵此方程有一根为-2，∴xM=
2-8k2
1+4k2，（7分）
同理可得xN=
2k2-8
k2+4．（8分）
由（1）知若存在定点，则此点必为P(-
6
5，0)．（9分）
∵kMP=
yM
xM+
6
5=
k(
2-8k2
1+4k2+2)

2-8k2
1+4k2+
6
5=
5k
4-4k2，（11分）
同理可计算得kPN=
5k
4-4k2．（13分）
∴直线MN过x轴上的一定点P(-
6
5，0)．（16分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查直接法求轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、直线过定点问题．考查推理能力和运算能力．

1年前他留下的回答

8

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