x》1求y=x2+x+7/x2+8的最值

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范翔飞 网友

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求y=(x²+x+7)/(x²+8)(x≧1)的最值
y=(x²+x+7)/(x²+8)=1+(x-1)/(x²+8)
由于y'=[(x²+8)-2x(x-1)]/(x²+8)²=(-x²+2x+8)/(x²+8)²=-(x²-2x-8)/(x²+8)²=-(x-4)(x+2)/(x²+8)²,
当1≦x≦4时f '(x)≧0,故f(x)在区间[1,4]内单调增；当x≧4时f '(x)≦0,故f(x)在区间[4,+∞)内单调减.x₁=-2,x₂=4是驻点；x₁是极小点,x₂是极大点.
故在x≧1时,maxf(x)=f(4)=1+3/24=1+1/8=9/8；
又f(1)=1；x→+∞limf(x)=x→+∞lim[1+(x-1)/(x²+8)]=1；故minf(x)=f(1)=1.
即在x≧1时y的最大值为9/8,最小值为1.

1年前他留下的回答

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