已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求y=f（x2-2）的值域．

酷克 1年前他留下的回答 已收到1个回答

心燕 网友

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解题思路：因为是二次函数可设f（x）=ax²+bx+c，然后利用f（0）=0可求得c=0，再结合f（x+1）=f（x）+x+1恒等列出a，b，c的方程组求解；求y=f（x²-2）的值域，只需利用换元法，令t=x²-2≥-2，即转化为求函数f（t）=at²+bt+c在[-2，+∞）上的值域．

设函数f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=0，所以c=0，
即f（x）=ax²+bx，
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+2ax+a+bx+b=f（x）+x+1=ax²+bx+x+1，
消去相同项得2ax+a+b=x+1
即2a=1，a+b=1，
解得a=b=[1/2]，
∴f（x）=[1/2x2+
1
2x=
1
2(x+
1
2)2−
1
8]，该函数在（-∞，-[1/2]）上递减，在[−
1
2，+∞）上递增，
对于函数求y=f（x²-2），令t=x²-2≥-2，所以要求函数y=f（x²-2）值域，即求函数y=f（t）在[-2，+∞）上的值域，
所以f（t）≥f（−
1
2）=-[1/8]，
所以函数y=f（x²-2）的值域为[-[1/8]，+∞）．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用；函数的值．

考点点评： 本题考查利用待定系数法求函数解析式的方法，一般是由已知条件列出待定系数的方程组求解，在求此例中，要注意恒等式知识的应用，求值域的方法用的是换元法，实际上用了转化思想求解．

1年前他留下的回答

8

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