整数p，q满足p+q=2010，且关于x的一元二次方程67x2+px+q=0的两个根均为正整数，则p= ___ ．

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zhaoxiuxi 网友

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解题思路：因为方程有两个正整数根，说明根的判别式△=b²-4ac≥0，由根与系数的关系可知：x₁+x₂＞0；x₁．x₂＞0，再由已知条件整数p，q满足p+q=2010，由此可以求出p的取值．

令p=67a，q=67b，
∵p+q=2010，
∴67（a+b）=2010，即a+b=30，
∴由根与系数的关系可知：

x1+x2=-
p
67=-a
x1x2=
q
67=b

x1x2-x1-x2=a+b=30
(x1-1)(x2-1)=31，
设

x1-1=1
x2-1=31

x1=2
x2=32，
∴

a=-34
b=64，
∴p=67a=-2278，
故答案为：p=-2278．

点评：
本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根．

考点点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如任意一元二次方程a2+bx+c=0（a≠0）有两个根x1，x2，则x1+x2=-[b/a]；x1．x2=[c/a]．

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4

只手摘星 网友

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若两个根均为正整数，则p/67和q/67均为整数，p+q=2010化为a+b=30，且a<0，b=30-a
原方程化为x^2+ax+30-a=0
x^2+ax+(a/2)^2-(a^2/4)+(120-4a)/4=0
(x+a/2)^2-(a^2+4a-120)/4=0
当a=-34时
x^2-34x+64=0
(x-2)(x-32)=0
p=-34X67=-2278

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lillian_1983 网友

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由韦达定理得
x1+x2= -p/67
x1*x2=q/67
又x1,x2都为正整数，即x1，x2的最小值是1
所以p负数，且p,q都是67的倍数．
又p+q=2010
所以q>2010,p<-2*67= -134
又因为△＝p^2-4*67*q=p^2-4*67(2010-p)=p^2+4*67p-4*67*2010 >0
△＝(p...

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0

张超的qq 网友

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带入：
67x^2+px+2010-p=0
有一次项系数p/67=-（两根之和）
常数项(2010-p)/67=两根之积
所以30=两根之积-两根之和
然后一个个带。

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