设函数f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）．

设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当k∈(

1

2

，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．
心碎的蜗牛 1年前他留下的回答 已收到1个回答

kraniiirk 网友

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解题思路：（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；
（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．

（1）当k=1时，f（x）=（x-1）e^x-x²，
f'（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=x（e^x-2）
令f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=ln2＞0
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x（-∞，0）0（0，ln2）ln2（ln2，+∞）f'（x）+0-0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）
（2）f（x）=（x-1）e^x-kx²，x∈[0，k]，k∈(
1
2，1]．
f'（x）=xe^x-2kx=x（e^x-2k），f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=ln（2k）
令φ（k）=k-ln（2k），k∈(
1
2，1]，φ′(k)=1-
1
k=
k-1
k≤0
所以φ（k）在(
1
2，1]上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ(
1
2)，∴1-ln2≤φ（k）＜[1/2]＜k．
即0＜ln（2k）＜k
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x（0，ln（2k））ln（2k）（ln（2k），k）f'（x）-0+f（x）↘极小值↗f（0）=-1，
f（k）-f（0）
=（k-1）e^k-k³-f（0）
=（k-1）e^k-k³+1
=（k-1）e^k-（k³-1）
=（k-1）e^k-（k-1）（k²+k+1）
=（k-1）[e^k-（k²+k+1）]
∵k∈(
1
2，1]，∴k-1≤0．
对任意的k∈(
1
2，1]，y=e^k的图象恒在y=k²+k+1下方，所以e^k-（k²+k+1）≤0
所以f（k）-f（0）≥0，即f（k）≥f（0）
所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k-1）e^k-k³．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 熟练掌握导数的运算法则、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键．

1年前他留下的回答

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