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证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件

网站编辑:宽屏壁纸网 发布时间:2022-05-12  点击数:
导读:证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件 证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件设f(x),g(x)以2pi为周期,且在[-pi,pi]上可积,证明f,g的傅里叶级数相等的充要条件是|f(x)-g(x)| 从-pi到pi的定积分=0 飞花轻似梦末觉 1年前他留下的回答 已收到1个回答...

证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件

证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件
设f(x),g(x)以2pi为周期,且在[-pi,pi]上可积,证明f,g的傅里叶级数相等的充要条件是
|f(x)-g(x)| 从-pi到pi的定积分=0 飞花轻似梦末觉 1年前他留下的回答 已收到1个回答

若是林非 网友

该名网友总共回答了19个问题,此问答他的回答如下:采纳率:94.7%

首先命题等价于:在[-π,π]可积的2π周期函数f(x),Fourier系数全为0的充要条件是∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
充分性很容易:0 ≤ |∫{-π,π} f(x)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
0 ≤ |∫{-π,π} f(x)sin(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|sin(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
0 ≤ |∫{-π,π} f(x)cos(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|cos(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
故所有Fourier系数全为0.
必要性用Parseval恒等式:由f(x)在[-π,π]可积,|f(x)|²也在[-π,π]可积.
并成立Parseval恒等式:∫{-π,π} |f(x)|²dx = |a0|²+∑{1 ≤ n} (|an|²+|bn|²).
由f(x)的Fourier系数全为0,可知∫{-π,π} |f(x)|²dx = 0.
再由Cauchy不等式:(∫{-π,π} |f(x)|dx)² ≤ (∫{-π,π} |f(x)|²dx)·(∫{-π,π} 1²dx) = 0.
即得∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.

1年前他留下的回答

2

  以上就是小编为大家介绍的证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件 的全部内容,如果大家还对相关的内容感兴趣,请持续关注宽屏壁纸网!

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