已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）

已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）． （1）求f（0）； （2）求证：f（x）＞0恒成立； （3）判断并证明函数f（x）在R上的单调性．

江山易改1981 1年前他留下的回答 已收到1个回答

nathan37 春芽

该名网友总共回答了23个问题，此问答他的回答如下：采纳率：100%

（1）令y=0，x=-1，得f（-1）=f（-1）f（0）…（2分）
∵x＜0时，0＜f（x）＜1，
∴f（-1）＞0…（3分）
∴f（0）=1…（5分）
（2）∵当x＜0时，0＜f（x）＜1
∴当x＞0，则-x＜0，令y=-x，得f（0）=f（x）f（-x）
得 f(x)=
1
f(-x) ＞0 …（7分）
故对于任意x∈R，都有f（x）＞0…（8分）
（3）设x ₁ ，x ₂ ∈R，且x ₁ ＜x ₂ ，
则x ₁ -x ₂ ＜0，∴0＜f（x ₁ -x ₂ ）＜1…（10分）
∴f（x ₁ ）=f[（x ₁ -x ₂ ）+x ₂ ]=f（x ₁ -x ₂ ）f（x ₂ ）＜f（x ₂ ）…（12分）
∴函数f（x）在R上是单调递增函数…（13分）

1年前他留下的回答

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