已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，问F（x）=1f(x)在（-∞，0）上是增函数还是

已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，问F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明结论． aa365 1年前他留下的回答 已收到2个回答

雪为谁飞扬 花朵

该名网友总共回答了19个问题，此问答他的回答如下：采纳率：84.2%

解题思路：根据函数奇偶性的性质以及函数单调性之间的关系即可得到结论．

∵y=f（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数且f（x）＜0，
∴在（-∞，0）上f（x）＞0，且单调递减，
则F（x）=
1
f(x)在（-∞，0）上是增函数．
证明：设x₁＜x₂＜0，
则F（x₁）-F（x₂）=
1
f(x1)−
1
f(x2)=
f(x2)−f(x1)
f(x1)f(x2)，
∵在（-∞，0）上f（x）＞0，且单调递减，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）f（x₂）＞0，
则F（x₁）-F（x₂）＞0，
即F（x₁）＞F（x₂），
则F（x）=
1
f(x)在（-∞，0）上是增函数．

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考查函数单调性的判断和证明，根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数单调性的定义是解决本题的关键．

1年前他留下的回答

8

康宁360821 网友

该名网友总共回答了618个问题，此问答他的回答如下：

证明：
先设x>=0,由题意，存在任意正数a
f(x+a)-f(x)>0 （1）
由于f是奇函数，那么f(-x-a)=-f(x+a),f(-x)=-f(x);
1/f(-x) - 1/f(-x-a) （2）
= f(-x-a)-f(-x)/f(-x)f(-x-a)
= -[f(x+a)-f(x)]/f(x)...

1年前他留下的回答

2

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