直三棱柱中ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别为A1B1，AB中点，

直三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M，N分别为A₁B₁，AB中点，
求证：

（1）平面AMC₁∥平面NB₁C；
（2）A₁B⊥AM． Gracezwei 1年前他留下的回答 已收到2个回答

凌霜耐秋寒 网友

该名网友总共回答了17个问题，此问答他的回答如下：采纳率：94.1%

解题思路：（1）先在四边形AA₁B₁B中，利用一组对边平行且相等证出四边形B₁NAM是平行四边形，从而B₁N∥AM，再结合直线与平面平行的判定定理，可得直线B₁N∥平面AMC₁，再用同样的方法证出CN∥平面AMC₁，最后利用平面与平面平行的判定定理，可以证出平面AMC₁∥平面NB₁C；
（2）先根据直三棱柱的性质，利用线面垂直证出C₁M⊥BB₁，结合等腰三角形A₁B₁C₁中，中线C₁M⊥A₁B₁，利用直线与平面垂直的判定定理，证出C₁M⊥平面AA₁B₁B，从而得到直线C₁M⊥A₁B，再结合已知条件AC₁⊥A₁B，得到A₁B⊥平面AC₁M，结合AM⊂平面AC₁M，最终得到A₁B⊥AM．

证明（1）∵M，N分别为A₁B₁，AB中点，
∴B₁M∥NA且B₁M=NA，
∴四边形B₁NAM是平行四边形
∴B₁N∥AM
又∵AM⊂平面AMC，B₁N⊄平面AMC₁，
∴B₁N∥平面AMC₁
连接MN，
∵矩形BB₁A₁A中，M、N分别是A₁B₁、AB的中点
∴BB₁∥MN且BB₁=MN
∵BB₁∥CC₁且BB₁=CC₁
∴四边形CC₁MN是平行四边形，
∴MC₁∥CN，
∵MC₁⊂平面AMC，CN⊄平面AMC₁，
∴CN∥平面AMC₁，
∵CN⊂平面B₁CN，B₁N⊂平面B₁CN，CN∩B₁N=N，
∴平面B₁CN∥平面AMC₁；
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
BB₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁M⊂平面A₁B₁C₁
∴C₁M⊥BB₁
又∵B₁C₁=A₁C₁，M为A₁B₁中点，
∴C₁M⊥A₁B₁，
∵A₁B₁∩BB₁=B₁，A₁B₁、BB₁⊂平面AA₁B₁B
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B，
∵A₁B⊂平面AA₁B₁B，
∴C₁M⊥A₁B，
又∵AC₁⊥A₁B，C₁M∩AC₁=C₁，C₁M、AC₁⊂平面AC₁M，
∴A₁B⊥平面AC₁M，
∵AM⊂平面AC₁M，
∴A₁B⊥AM．

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的性质；平面与平面平行的判定．

考点点评： 本题在一个特殊的直三棱柱中，通过证明平面与平面平行和两条异面直线互相垂直，着重考查了面面平行的判定定理和线面垂直的判定与性质，属于中档题．

1年前他留下的回答

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红色记忆18 网友

该名网友总共回答了37个问题，此问答他的回答如下：

证明（1）∵M，N分别为A1B1，AB中点，
∴B1M∥NA且B1M=NA，
∴四边形B1NAM是平行四边形
∴B1N∥AM
又∵AM⊂平面AMC，B1N⊄平面AMC1，
∴B1N∥平面AMC1
连接MN，
∵矩形BB1A1A中，M、N分别是A1B1、AB的中点
∴BB1∥MN且BB1=MN
∵BB1∥...

1年前他留下的回答

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