已知数列{an}的前n项和为Sn，对任何正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且在点Pn（n

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任何正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且在点P_n（n，S_n）处的切线的斜率为K_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn＝2Knan，求数列{b_n}的前n项和T_n． lihexian 1年前他留下的回答 已收到3个回答

梦缘水泪 网友

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解题思路：（1）根据题中已知条件，先求出数列{a_n}的前n项和S_n的表达式，进而求得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据题中条件求出K_n的表达式，结合前面求得的数列{a_n}的通项公式，即可求得数列{b_n}的通项公式，进而可以求出数列{b_n}的前n项和T_n．

（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴S_n=n²+2n（n∈N^*）．…（3分）
当n=1时，a₁=S₁=1+2=3；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1 ①
当n=1时，a₁=3也满足①式．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．…（6分）
（2）由f（x）=x²+2x求导可得f′（x）=2x+2．
∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为K_n，
∴K_n=2n+2．…（8分）
又∵bn＝2Kn•an，
∴b_n=2²ⁿ⁺²（2n+1）=4（2n+1）•4ⁿ，
∴T_n=4×3×4¹+4×5×4²+4×7×4³+…+4（2n+1）•4ⁿ ①
由①×4得：∴4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴+…+4（2n+1）•4ⁿ⁺¹ ②
①-②得-3T_n=4×（3×4+2×4²+2×4³+…+2×4ⁿ-（2n+1）4ⁿ⁺¹）
=4×（12+2×
16×(1−4n−1)
1−4-（2n+1）4ⁿ⁺¹）=[4/3−
1
3×(6n+1)4n+1
所以 T_n=
1
9×(6n+1)44n+1−
4
9]…（12分）

点评：
本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题主要考查了数列与函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列与函数的综合掌握，是各地高考的热点，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．

1年前他留下的回答

7

elvisv 网友

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不知道

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2

juzi红了 网友

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1.由题意得Sn=n^2+2n
当n=1时，a1=S1=3
当n>=2时，an=Sn-Sn-1=2n+1经检验n=1时a1符合上式
所以an=2n+1
2.kn=2n+2所以bn=2^(2n+2)×(2n+1)=2^(2n+3)×n+4^(n+1)
所以bn=2n×4^(n+1)+4^(n+1)
所以Tn=2[1×4^2+2×4^3+....+n×4...

1年前他留下的回答

2

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