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设M是由满足下列条件的函数f(x)(x∈R)构成的集合:①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满

网站编辑:宽屏壁纸网 发布时间:2022-08-13  点击数:
导读:设M是由满足下列条件的函数f(x)(x∈R)构成的集合:①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满 设M是由满足下列条件的函数f(x)(x∈R)构成的集合:①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.(Ⅰ)判断函数f(x)=[x/2]+[cos/8]-[1/8]是否是集合M中的元素,并说明理由;(Ⅱ)若函数f(x)...

设M是由满足下列条件的函数f(x)(x∈R)构成的集合:①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满

设M是由满足下列条件的函数f(x)(x∈R)构成的集合:①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.
(Ⅰ)判断函数f(x)=[x/2]+[cos/8]-[1/8]是否是集合M中的元素,并说明理由;
(Ⅱ)若函数f(x)是集合M中的一个元素,x0是方程f(x)-x=0的实数根,求证:对于定义域中的任意两个实数x1,x2,当|x0-x1|<1且|x2-x0|<1时,不等式|f(x2)-f(x1)|<2成立. 棉花糖_ 1年前他留下的回答 已收到2个回答

jhdg 网友

该名网友总共回答了17个问题,此问答他的回答如下:采纳率:100%

解题思路:(Ⅰ)利用方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1,进行验证,即可得出结论;
(Ⅱ)构造f(x)-x,研究函数f(x)-x的单调性,从而得到|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,再利用绝对值不等式即可证得.

(I)因为f′(x)=[1/2]-[sinx/8],所以f′(x)∈[[3/8],[5/8]],满足条件0<f′(x)<1,
又因为当x=0时,f([π/4])-[π/4]>0,f(π)-π<0,
所以方程f(x)-x=0有实数根.
所以函数f(x)=[x/2]+[cos/8]-[1/8]是集合M中的元素.
(II)不妨设x1<x2,因为f'(x)>0,
所以f(x)为增函数,
所以f(x1)<f(x2),
又因为f'(x)-1<0,
所以函数f(x)-x为减函数,
所以f(x1)-x1>f(x2)-x2
所以0<f(x2)-f(x1)<x2-x1
即|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,
所以|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|=|x2-x0-(x1-x0)|≤|x2-x0|+|x1-x0|<2.

点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题考查了导数的运算,以及不等式的证明,是一道函数综合问题,有一定难度.

1年前他留下的回答

10

水瓶认证版 网友

该名网友总共回答了2个问题,此问答他的回答如下:

设x1 因为f ’(x)-1<0,所以f(x)-x单调递减,所以f(x1)-x1>f(x2)-x2,
所以f(x2)-f(x1) 所以|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|=|(x0-x1)+(x2-x0)|<|x0-x1|+|x2-x0|<2

1年前他留下的回答

1

  以上就是小编为大家介绍的设M是由满足下列条件的函数f(x)(x∈R)构成的集合:①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满 的全部内容,如果大家还对相关的内容感兴趣,请持续关注宽屏壁纸网!

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